Dúvidas sobre ação de despejo por atraso de pagamento

Moro de aluguel e hoje recebi um comunicado dizendo que devo deixar o imóvel em 10 dias porque estou devendo os aluguéis desde dezembro. Estou passando por um período ruim, mas vivo com meu filho menor de idade e tudo meu está aqui perto de onde moro, inclusive o colégio dele. Quando aluguei tive que dar dois meses de adiantamento. Por que eles esperaram até agora para mandar esse comunicado, já que meu contrato venceu em maio? É impossível encontrar uma casa em 10 dias. Tenho alguma chance de reaver na justiça o direito de ficar até conseguir um lugar para viver com meu filho? Como devo proceder? Obrigada.